2020-2021


Lundi 19 octobre : PEC : Sébastien Labbé

Titre : Pavages apériodiques en dimension 1: de la combinatoire à la géométrie en passant par l'algèbre

Résumé : La structure des pavages apériodiques est souvent expliquée par des règles combinatoires faisant intervenir la géométrie et l'algèbre. Dans cette petite école de combinatoire, nous allons présenter ces liens en se basant sur un exemple en dimension 1 associé au nombre irrationnel le plus simple de toute la terre. À partir de la substitution de Fibonacci, nous allons construire la substitution géométrique associée. Cela permettra de définir un pavage apériodique de la droite réelle. Nous observerons que ce pavage s'explique via le schéma de coupe et projection et la conjugaison algébrique dans le plongement de Minkowski de Z[sqrt(5)].

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Lundi 12 octobre : Vincent Delecroix

Titre : Les courbes simples en grand genre ne séparent pas

Résumé : Fixons une surface compacte S de genre g >= 2. On s'intéresse dans cette surface aux courbes fermées simples à homotopie près ou autrement dit aux plongements du cercle dans la surface sans auto-intersection. Il y a un nombre infini dénombrable de telles courbes. A chaque courbe on associe son type topologique: lorsqu'on la découpe, soit elle sépare la surface en deux sous-surfaces de genre g1 et g2 avec g1 + g2 = g soit elle est non-séparante. En particulier, il y a un nombre fini de types topologiques. Nous expliquerons comment donner sens à la notion de courbe aléatoire dans S et associer une fréquence d'apparition à chaque type topologique. J'expliquerai alors pourquoi lorsque le genre tend vers l'infini, le type topologique d'une courbe aléatoire est non-séparant.


Lundi 21 septembre : Sergey Dovgal

Titre : The birth of the strong components

Résumé :It is known that random directed graphs D(n,p) undergo a phase transition around the point p = 1/n. Moreover, the width n^{-4/3} of the transition window has been known since the works of Luczak and Seierstad. In particular, they have established that as n → ∞ when p = (1 + μn^{-1/3})/n, the asymptotic probability that the strongly connected components of a random directed graph are only cycles and single vertices decreases from 1 to 0 as μ goes from −∞ to ∞. By using techniques from analytic combinatorics, we establish the exact limiting value of this probability as a function of μ and provide more statistical insights into the structure of a random digraph around, below and above its transition point. We obtain the limiting probability that a random digraph is acyclic and the probability that it has one strongly connected complex component with a given difference between the number of edges and vertices (called excess). Our result can be extended to the case of several complex components with given excesses as well in the whole range of sparse digraphs. Our study is based on a general symbolic method which can deal with a great variety of possible digraph families, and a version of the saddle-point method which can be systemat- ically applied to the complex contour integrals appearing from the symbolic method. While the technically easiest model is the model of random multidigraphs, in which multiple edges are allowed, and where edge multiplicities are sampled independently according to a Poisson distribution with a fixed parameter p, we also show how to systematically approach the family of simple digraphs, where multiple edges are forbidden, and where 2-cycles are either allowed or not. Our theoretical predictions are supported by numerical simulations when the number of vertices is finite, and we provide tables of numerical values for the integrals of Airy functions that appear in this study.

This is a joint work with Élie de Panafieu, Dimbinaina Ralaivaosaona, Vonjy Rasendrahasina, and Stephan Wagner

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Arnaud Casteigts

Titre : Efficient generation of simple temporal graphs up to isomorphism

Résumé : In this work, we consider a particular kind of isomorphism between temporal graphs, where two graphs are isomorphic if and only if they have the same reachability (set of temporal paths) up to time distortion. The underlying motivation is to capture infinite sets of temporal graphs by finitely many representatives, on which conjectures can be tested in a comprehensive manner. In this talk, I will focus on the case of "simple temporal graphs", where the edges have exactly one presence time and times are different for adjacent edges. The automorphisms of these graphs have special features which allow one to generate canonical representatives efficiently. The talk will be structured as a gentle discussion covering several topics, from symmetry, to spanners, to generation trees, and a few conjectures.

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