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2023-2024


Lundi 25 mars : Sébastien Labbé

Titre : Tuiles de Wang associées aux nombres métalliques

Résumé : Pour chaque entier positif \(n\), nous introduisons un ensemble \(\mathcal{T}_n\) composé de \((n+3)^2\) tuiles de Wang (carrés unitaires avec des bords étiquetés). Nous représentons un pavage par des translations de ces tuiles comme une fonction \(\mathbb{Z}^2\to\mathcal{T}_n\) appelée configuration. Une configuration est valide si le bord commun des tuiles adjacentes a la même étiquette. Pour chaque entier \(n\geq1\), nous considérons le sous-décalage de Wang \(\Omega_n\) défini comme l'ensemble des configurations valides sur les tuiles \(\mathcal{T}_n\).

La famille \(\{\Omega_n\}_{n\geq1}\) élargit la relation entre les entiers quadratiques et les tuiles apériodiques au-delà de l'omniprésent nombre d'or, car la dynamique de \(\Omega_n\) implique la racine positive \(\beta\) du polynôme \(x^2-nx-1\). Cette racine est parfois appelée \(n\)-ième nombre métallique, et en particulier, le nombre d'or lorsque \(n=1\) et le nombre d'argent lorsque \(n=2\).

La famille rassemble les caractéristiques des petits ensembles apériodiques de tuiles de Wang. Lorsque \(n=1\), l'ensemble de tuiles de Wang \(\mathcal{T}_1\) est équivalent à l'ensemble apériodique d'Ammann de 16 tuiles de Wang. Les tuiles de \(\mathcal{T}_n\) satisfont des versions additives d'équations vérifiées par les ensembles apériodiques de Kari-Culik de 14 et 13 tuiles de Wang. Les configurations de \(\Omega_n\) sont également les codages d'une action de \(\mathbb{Z}^2\) sur un tore à 2 dimensions par une partition polygonale comme l'ensemble apériodique de Jeandel-Rao de 11 tuiles de Wang.

Les tuiles peuvent être définies comme les différentes instances d'une puce informatique de forme carrée dont les entrées et les sorties sont des vecteurs entiers à trois dimensions. Il existe une fonction facteur presque partout injective \(\Omega_n\to\mathbb{T}^2\) qui commute l'action de décalage sur \(\Omega_n\) avec les translations horizontales et verticales par \(\beta\) sur \(\mathbb{T}^2\). La fonction facteur peut être explicitement définie par la moyenne des étiquettes supérieures de la rangée de tuiles passant par l'origine, comme dans les exemples de Kari et Culik.

Nous montrons également que \(\Omega_n\) est auto-similaire, apériodique et minimal pour l'action de décalage. De plus, il existe une partition polygonale de \(\mathbb{T}^2\) dont nous montrons qu'elle est une partition de Markov pour une \(\mathbb{Z}^2\)-action sur le tore. La partition et les ensembles de tuiles de Wang sont symétriques, ce qui les rend, comme les tuiles de Penrose, dignes d'intérêt.

Les détails peuvent être trouvés dans les prépublications disponibles à arXiv:2312.03652 (partie I) et arXiv:2403.03197 (partie II). L'exposé présentera une vue d'ensemble des principaux résultats.


Lundi 1er avril : Lundi de Pâques

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Lundi 8 avril : à saisir

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Lundi 15 avril : à saisir

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(Vacances scolaires)


Lundi 22 avril : Vacances universitaires

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Lundi 29 avril : Robert Cori

Titre : Un polynôme à la Whitney pour les hypercartes.

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Lundi 6 mai : à saisir

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Lundi 13 mai: à saisir

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Lundi 20 mai : Lundi de Pentecôte

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Du lundi 24 juin au vendredi 28 juin : GASCom 2024


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