2018-2019


Lundi 15 octobre : Xavier Caruso

Titre : Nombre moyen de racines d'un polynôme p-adique aléatoire

Résumé : À l'instar des réels, le corps des nombres p-adiques s'obtient par complétion à partir des nombres rationnels et est muni d'une mesure naturelle (qui peut être considérée comme un analogue de la mesure gaussienne) qui permet de donner un sens à un nombre p-adique aléatoire et, par suite, à des structures p-adiques aléatoires plus complexes telles que les polynômes. L'étude des polynômes aléatoires p-adiques peut ainsi être menée de même que l'on étudie habituellement les polynômes aléatoires réels.
Dans cet exposé, je m'intéresserai au nombre moyen de racines des polynômes p-adiques aléatoires dans le corps des nombres p-adiques, Qp, ainsi que dans ses extensions algébriques. Je montrerai en particulier qu'un polynôme p-adique aléatoire a, en moyenne, une seule racine dans Qp et, a contrario a pratiquement toutes ses racines dans l'extension maximale non ramifiée de Qp. Un parallèle avec la situation sur les corps finis sera également proposé.
N.-B. : L'exposé est destiné à un public pour lequel on ne suppose aucune familiarité particulière avec les nombres p-adiques. Il contiendra en particulier de très nombreux (r)appels basiques sur Qp, et sur ses extensions algébriques.


Lundi 1er octobre : Thomas Krajewski (CPT Marseille & LIPN) http://www.cpt.univ-mrs.fr/ AÀP 2018 cf. 11/12/2015.

Titre : Algebraic structures related to loop equations

Résumé : Random matrix theory investigates probability laws defined on matrices and proved to be useful in various areas of physics and mathematics. In particular, the expansion of the corresponding matrix integrals around a Gaussian one leads to a sum over maps, so that the former can be considered as a generating function for maps. Changing variables in the matrix integrals provides constraints on the generating function, known as loop equations, which reduce to the Tutte equations for map enumeration. Loop equations are also at the origin of the topological recursion that allows to construct explicitly the generating function at fixed genus in terms of lower genera. Recently, a purely algebraic formulation of topological recursion has been presented by Kontsevitch and Soibelman (see https://arxiv.org/abs/1701.09137), which is versatile enough to encompass various other situations, like random tensors and semi-classical expansions in quantum theory.
In this talk, I will briefly review the relation between matrix integrals and map enumeration and then show how the associated loop equations can be formulated in the wider framework proposed by Kontsevitch and Soibelman.


Lundi 24 septembre : Xavier Viennot

Titre : Empilements de Laguerre pour le PASEP

Résumé : Le PASEP (partially asymmetric exclusion process) est un modèle très connu en physique des systèmes dynamiques ayant une combinatoire sous-jacente très riche et particulièrement étudiée par l'équipe bordelaise. Josuat-Vergès a donné une belle interprétation combinatoire de la fonction de partition du modèle à 3 paramètres en termes de permutations, en utilisant une combinaison de 4 bijections. Nous en donnons une autre preuve en introduisant un nouvel objet dans le jardin combinatoire du PASEP : les empilements de Laguerre, c'est-à-dire certains empilements de segments pointés, en bijection avec les permutations. Nous montrons le lien avec les tableaux de Dyck, les « histoires de Laguerre » et la structure de données « dictionnaire » en informatique.


Lundi 17 septembre à 9h30 : Théo Karaboghossian

Titre : Invariant polynomial et théorème d’inversion sur le monoïde de Hopf des hypergaphes et ses sous monoïdes.

Résumé : La notion de monoïde de Hopf a été introduite par Aguiar et Mahajan et formalise de façon algébrique les notions de fusion et séparation d’objet combinatoires (concaténation de mots, restriction de graphes etc). Aguiar et Ardila ont montré que ce formalisme donne un cadre idéal pour définir des invariants polynomiaux. Dans cet exposé je présente la notion de monoïde de Hopf et m’appuie sur les travaux d’Aguiar et Ardila pour définir un nouvel invariant polynomial d’hypergraphe. Je montre ensuite que cet invariant est sujet à un théorème d’inversion similaire à celui de Stanley sur le polynôme chromatique d’un graphe. Finalement je montre que l’on retrouve des résultats similaires déjà connus en tant que conséquences de ce théorème.

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Lundi 17 septembre à 10h45 : Samuele Giraudo (Univ. Marne-la-Vallée) http://igm.univ-mlv.fr/~giraudo/ AÀP 2018

Titre : Réécriture dans les arbres et dénombrement

Résumé : Nous expliquons comment obtenir un système d'équations pour décrire la série caractéristique d'une famille d'arbres évitant un ensemble donné de motifs. La théorie algébrique qui permet de formaliser ce procédé est celle des opérades. Les opérades permettent, via leurs présentations par générateurs et relations, d'obtenir des systèmes de réécriture sur les arbres, qui, lorsque certaines propriétés de confluence sont vérifiées, offrent des pistes pour le dénombrement. Cette approche algébrique de l'énumération est présentée sur de nombreux exemples.



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